ทฤษฎีการตั้งค่าที่เปิดเผย (RPT) (พร้อมไดอะแกรม)

ในบทความนี้เราจะหารือเกี่ยวกับทฤษฎีการตั้งค่าการเปิดเผย (RPT) ที่ นำเสนอโดยศาสตราจารย์ แซมวล

แนวคิดของการตั้งค่าเปิดเผย :

ศ. ซามูเอลสันได้คิดค้นวิธีการทางเลือกให้กับทฤษฎีพฤติกรรมผู้บริโภคซึ่งโดยหลักการแล้วผู้ใช้ไม่จำเป็นต้องให้ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับตัวเขา

หากรสนิยมของเขาไม่เปลี่ยนแปลงทฤษฎีนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อ Revealed Preference Theory (RPT) อนุญาตให้เราค้นหาสิ่งที่เราจำเป็นต้องรู้เพียงแค่สังเกตพฤติกรรมของตลาดโดยดูว่าเขาซื้ออะไรในราคาที่ต่างกันโดยสมมติว่าการซื้อของเขา และประสบการณ์การซื้อไม่เปลี่ยนรูปแบบความชอบหรือความต้องการซื้อของเขา

ให้ข้อมูลดังกล่าวเพียงพอมันเป็นไปได้ในทางทฤษฎีในการสร้างแผนที่ความไม่แยแสของผู้บริโภค

RPT ของ Samuelson ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ค่อนข้างง่าย ผู้บริโภคจะตัดสินใจซื้อชุดค่าผสมบางอย่างเนื่องจากเขาชอบมากกว่าชุดค่าผสมอื่น ๆ ที่มีให้เขาหรือเพราะราคาถูก ให้เราสมมติว่าเราสังเกตว่ามีสินค้าสองรายการที่เสนอขายผู้บริโภคเลือกซื้อ A แต่ไม่ใช่ B

เราไม่อยู่ในฐานะที่จะสรุปได้ว่าเขาชอบ A ถึง B เพราะเป็นไปได้ว่าเขาซื้อ A เพราะ A เป็นคอลเลคชันที่ราคาถูกกว่าและจริง ๆ แล้วเขาจะมีความสุขมากขึ้นถ้าเขาได้รับ B. แต่ข้อมูลราคาอาจเป็น สามารถลบความไม่แน่นอนนี้ได้

หากแท็กราคาของพวกเขาบอกเราว่า A ไม่ถูกกว่า B (หรือ B ไม่แพงกว่า A) มีคำอธิบายที่น่าเชื่อถือเพียงข้อเดียวสำหรับผู้บริโภคที่เลือก - เขาซื้อ A เพราะเขาชอบดีกว่า

โดยทั่วไปหากผู้บริโภคซื้อสินค้าชุด A มากกว่าชุดสะสมอื่น B, C และ D และหากปรากฎว่าไม่มีชุดสะสมหลังราคาแพงกว่า A เราก็บอกว่า A ได้รับ เปิดเผยว่าเป็นที่ต้องการของชุดค่าผสม B, C และ D หรือ B, C และ D ที่ได้รับการเปิดเผยด้อยกว่า A

ดังนั้นหากผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสม E 1 (x 1, y 1 ) ของสินค้า X และ Y และไม่ซื้อชุดค่าผสม E 2 (x 2, y 2 ) ในราคา (p1 x, p1 y, ) ของ สินค้าแล้วเราจะสามารถพูดได้ว่าเขาชอบการรวมกัน E 1 ถึงการรวมกัน E 2 ถ้าเราได้รับ

ชุดที่สมบูรณ์ของการรวมกันของสินค้า X และ Y ซึ่งเป็นที่ต้องการรวมกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถพบได้ด้วยความช่วยเหลือของสายราคาของผู้บริโภค ขอให้เราสมมติว่าเส้นงบประมาณของผู้บริโภคคือ L 1 M 1 ในรูปที่ 6.104 และเขาถูกสังเกตว่าซื้อชุดค่าผสม E 1 (x 1, y 1 ) ที่อยู่บนบรรทัดนี้

ทีนี้เนื่องจากค่าใช้จ่ายของชุดค่าผสมทั้งหมดที่อยู่ในเส้นงบประมาณนั้นเท่ากับของ E 1 และเนื่องจากค่าใช้จ่ายของชุดค่าผสมทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างและด้านซ้ายของบรรทัดงบประมาณต่ำกว่าของ E 1 เรา อาจกล่าวได้ว่า E 1 นั้นได้รับการเปิดเผยว่าเป็นที่นิยมสำหรับชุดค่าผสมทั้งหมดที่วางไว้หรือต่ำกว่าวงเงินงบประมาณของผู้บริโภค

อีกครั้งเนื่องจากค่าใช้จ่ายของชุดค่าผสมที่อยู่ด้านบนและด้านขวาของบรรทัดงบประมาณสูงกว่าค่าของ E 1 เราจึงไม่สามารถพูดได้ว่าผู้บริโภคชอบ E 1 กับชุดค่าผสมเหล่านี้เมื่อเขาถูกพบว่าซื้อ E 1 เพราะที่นี่ E 1 คือชุดค่าผสมที่ถูกกว่า

เราต้องสังเกตความแตกต่างระหว่าง "การตั้งค่า" และ "การตั้งค่าที่เปิดเผย" ที่นี่ ชุดค่าผสม A เป็นค่า ที่ "ดีกว่า" ต่อ B ซึ่งหมายความว่าผู้บริโภคอยู่ในอันดับ A ก่อนหน้า B

แต่ A คือ "เปิดเผยว่าต้องการ B" หมายถึง A ถูกเลือกเมื่อ B มีราคาไม่แพง (ไม่แพงมาก) ในรูปแบบพฤติกรรมผู้บริโภคของเราโดยทั่วไปเราคิดว่าผู้คนกำลังเลือกชุดค่าผสมที่ดีที่สุดที่พวกเขาสามารถจ่ายได้ซึ่งตัวเลือกที่พวกเขาทำนั้นเป็นที่ต้องการของตัวเลือกที่พวกเขาสามารถทำได้ นั่นคือถ้า (x 1 y 1 ) เป็นที่ต้องการโดยตรงกับ (x 2, y 2 ) ดังนั้น (x 1, y 1 ) คือในความเป็นจริงแล้วชอบที่จะ (x 2, y 2 )

ให้เราระบุหลักการ RP อย่างเป็นทางการมากขึ้น:

ให้เราสมมติว่าผู้บริโภคกำลังซื้อชุดค่าผสม (x 1, y 1 ) ตามราคาที่ตั้งไว้ (p ' x, P' y ) ให้เราสมมติว่าอีกชุดคือ (x 2, y 2 ) เช่นนั้น ' x 1 + p ' yy 1 ≥ p' x x 2 + p ' y y 2 ตอนนี้หากผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสมที่ต้องการมากที่สุดภายใต้ข้อ จำกัด ด้านงบประมาณของเขาเราจะบอกว่าชุดค่าผสม (x 1, y 1 ) เป็นที่ต้องการอย่างยิ่งสำหรับชุดค่าผสม (x 2, y 2 )

สมมติฐาน :

ด้วยความช่วยเหลือของหลักการง่ายๆของ RP เราอาจสร้างทฤษฎีที่มีประสิทธิภาพตามความต้องการของผู้บริโภค สมมติฐานที่เราจะทำที่นี่คือ:

(i) ผู้บริโภคซื้อและใช้สินค้าเพียงสองรายการ (X และ Y) ปริมาณ x และ y ของสินค้าเหล่านี้เป็นตัวแปรต่อเนื่อง

(ii) สินค้าทั้งสองชนิดนี้เป็นประเภท MIB (มากกว่านั้นดีกว่า) สมมติฐานนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อสมมติฐานของความน่าเบื่อ สมมติฐานนี้บอกเป็นนัยว่าไอซีของผู้บริโภคมีความลาดเอียงเป็นลบ

(iii) ความชอบของผู้บริโภคนั้นนูนออกมาอย่างเคร่งครัด สมมติฐานนี้บอกเป็นนัยว่าไอซีของผู้บริโภคจะนูนไปยังแหล่งกำเนิดซึ่งหมายความว่าอีกครั้งจะได้รับเพียงจุดเดียว (จุดของการสัมผัส) ในบรรทัดงบประมาณของผู้บริโภคที่จะได้รับเลือกจากเขาในราคาที่ไม่แพงอื่น ๆ อยู่รวมกัน

สมมติฐานนี้มีความสำคัญมาก บนพื้นฐานของข้อสันนิษฐานนี้เราจะได้รับความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสถานการณ์รายได้ของผู้บริโภคหรือเส้นงบประมาณและตัวเลือกดุลยภาพของเขา - สำหรับเส้นงบประมาณใด ๆ ของผู้บริโภคจะได้รับหนึ่งและเพียงหนึ่งสมดุล การรวมกันของสินค้าและสำหรับการรวมกันใด ๆ ที่จะเป็นหนึ่งสมดุลจะได้รับหนึ่งและงบประมาณบรรทัดเดียว

(iv) สมมติฐานที่สี่ของทฤษฎี RP เป็นที่รู้จักกันในชื่อสัจพจน์ที่อ่อนแอของ RP (WARP) ที่นี่เราคิดว่าหากผู้บริโภคเลือกชุดค่าผสม E 1 (x 1, y 1 ) กับชุดค่าผสมที่ราคาไม่แพงอีกชุด E 2 (x 2, y 2 ) ในสถานการณ์รายได้ที่เฉพาะเจาะจงแล้วเขาจะไม่เลือก E 2 E 1 ถ้า E 1 มีราคาไม่แพง

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าชุดค่าผสม E 1 ถูกเปิดเผยที่ต้องการให้กับ E 2 ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใด E 2 สามารถถูกเปิดเผยให้กับกลุ่ม E 1 ได้

(v) สมมติฐานที่ห้าของทฤษฎี RP เป็นที่รู้จักกันในชื่อสัจพจน์ที่แข็งแกร่งของ RP (SARP) ตามสมมติฐานนี้หากผู้บริโภคภายใต้สถานการณ์รายได้ด้านราคาที่แตกต่างกันแสดงชุดค่าผสม E 1 ซึ่งเป็นที่ต้องการของ E 2, E 2 ถึง E 3, …, E k-1 ถึง E k ดังนั้น E 1 จะเป็นที่ต้องการ ถึง E k และ E k จะไม่มีทางเปิดเผย (ภายใต้สถานการณ์รายรับราคา) กับ E 1

เปิดเผยค่ากำหนด - โดยตรงและโดยอ้อม :

หาก RP ถูก จำกัด อยู่ที่การรวมกันของสินค้าเพียงสองรายการ E 1 และ E 2 และหากในสถานการณ์เฉพาะรายได้ราคา E 1 (x 1, y 1 ) จะถูกเปิดเผยว่าต้องการชุดค่าผสม E 2 (x 2, y 2 ) จากนั้นมีการกล่าวว่า E 1 เป็นที่ต้องการโดยตรงสำหรับ E 2

แต่ถ้ามีการพิจารณาการตั้งค่าสำหรับชุดค่าผสมมากกว่าสองชุดและหากมีการสร้างการกำหนดค่าตามความชอบของ RP แล้วมันเป็นกรณีของการตั้งค่าที่เปิดเผยทางอ้อม ตัวอย่างเช่นถ้า E 1 ถูกเปิดเผยว่าต้องการ E 2, …, E k-1 ถึง E k จากนั้นโดย SARP เราจะบอกว่า E 1 นั้นถูกเปิดเผยโดยชอบทาง E k

การละเมิด WARP :

ให้เราพิจารณารูปที่ 6.105 ที่นี่ให้เราสมมติว่าภายใต้สถานการณ์รายได้ด้านราคาที่แสดงโดยเส้นงบประมาณ L 1 M 1 ผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสม E 1 (x 1, y 1 ) และเขาแสดงชุดค่าผสม E 1 (x 1 y 1 ) ตามต้องการ E 2 (x 2, y 2 )

สำหรับที่นี่เขาเลือก E 1 มากกว่าชุดค่าผสมที่เหมาะสม E 2 ให้เราสมมติอีกครั้งว่าเมื่อเส้นงบประมาณของผู้บริโภคเปลี่ยนจาก L 1 M 1 เป็น L 2 M 2 ผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสม E 2 (x 2, y 2 ) แม้ว่าเขาจะได้รับชุดค่าผสมที่ราคาไม่แพง E 1 (x 1, y 1 ) กล่าวคือภายใต้ L 2 M 2, E 2 ถูกเปิดเผยที่ต้องการ E 1

สิ่งที่เราได้เห็นที่นี่คือภายใต้เส้นงบประมาณ L 1 M 1 ชุดค่าผสม E 1 ถูกเปิดเผยว่าต้องการ E 2 และภายใต้เส้นงบประมาณที่ต่างกัน L 2 M 2, E 2 เป็นที่ต้องการของ E 1 เห็นได้ชัดว่าผู้บริโภคที่นี่ละเมิด WARP

สาเหตุของการละเมิดนี้อาจเป็นเพราะผู้บริโภคที่นี่ไม่ได้พยายามที่จะได้รับชุดค่าผสมที่ต้องการมากที่สุดภายใต้ข้อ จำกัด ด้านงบประมาณของเขา; หรืออาจเป็นไปได้ว่ารสนิยมของเขาหรือองค์ประกอบอื่น ๆ ในสภาพแวดล้อมทางเศรษฐกิจของเขามีการเปลี่ยนแปลงซึ่งควรจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงตามสมมติฐานของเรา

ทีนี้อะไรก็ตามที่อาจเป็นสาเหตุของการละเมิด WARP การฝ่าฝืนครั้งนี้ไม่สอดคล้องกับรูปแบบพฤติกรรมผู้บริโภคที่เรากำลังพูดถึง

โมเดลสมมติว่าผู้บริโภคต้องการเพิ่มระดับความพึงพอใจให้สูงสุดและนั่นคือเหตุผลที่เมื่อเขาเลือกชุดค่าผสมที่เฉพาะเจาะจงพูดว่า E 1 ขึ้นอยู่กับงบประมาณของเขาซึ่งจะต้องเป็นชุดที่ 'ถูกใจ' ที่สุดสำหรับชุดค่าผสมอื่น ๆ ไม่มีชุดค่าผสม 'อื่น ๆ ' เหล่านี้สามารถ 'เป็นที่ต้องการ' ให้กับ E 1 ภายใต้งบประมาณที่แตกต่างกัน WARP ให้ความสำคัญกับจุดที่เรียบง่าย แต่สำคัญ เราอาจให้แถลงการณ์อย่างเป็นทางการของ WARP ด้วยวิธีต่อไปนี้

หากชุดค่าผสม E 1 (x 1 y 1 ) ถูกเปิดเผยโดยผู้บริโภคโดยตรงซึ่งเป็นที่ต้องการสำหรับชุดค่าผสม E 2 ที่ แตกต่างกัน (x 2, y 2 ) ดังนั้น E 2 จะไม่ถูกเปิดเผยโดยผู้บริโภคตามที่ต้องการ E 1

กล่าวอีกนัยหนึ่งหากผู้บริโภคซื้อ E 1 (x 1, y 1 ) ในราคาที่กำหนด (p x (1), p y (1)) และ E 2 (x 2, y 2 ) ในราคา set (p x (1), p y (2)), จากนั้นถ้า (6.138) ด้านล่างถือ, (6.139) จะต้องไม่ถือ:

ดังที่เราได้เห็น WARP ถูกละเมิดในรูปที่ 6.105 เมื่อผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสม E 1 ใน L 1 M 1 และ E 2 ใน L 2 M 2 ที่นี่การตั้งค่าการสั่งซื้อของผู้บริโภคแบ่งลง อาจตรวจสอบได้ในรูปที่ 6.105 ว่า IC แทนเจนต์กับ L 1 M 1 ที่ E 1 และ IC แทนเจนต์เป็น L 2 M 2 ที่ E 2 ไม่สามารถทำการตัดกันได้ในกรณีนี้

ในรูปที่ 6.106 ให้เราสมมติว่าผู้บริโภคซื้อชุดค่าผสม E 1 ใน L 1 M 1 และชุดค่าผสม E 2 ใน L 2 M 2 ที่นี่เมื่อเขาซื้อ E 1 เขาเลือก E 1 มากกว่าชุดค่าผสม E 2 ที่ ไม่แพงเช่น E 1 เป็นที่ต้องการของ E 2 แต่เมื่อเขาซื้อ E 2 เขาจะเลือก E 2 แทน E 1 ที่ไม่สามารถ พูดได้นั่นคือ E 2 ไม่ได้ถูกเปิดเผยว่าต้องการ E 1

ดังนั้นที่นี่ WARP จะไม่ถูกละเมิดดังนั้นที่นี่การกำหนดค่าตามความชอบของผู้บริโภคจะไม่พัง อาจเห็นได้ในรูปที่ 6.106 ที่ IC แทนเจนต์กับ L 1 M 1 ที่ E 1 และ IC แทนเจนต์กับ L 2 M 2 ที่ E 2 จะไม่ตัดกัน

ความสำคัญของ SARP :

ให้เราคุยถึงความสำคัญของสัจพจน์อันแข็งแกร่งของการตั้งค่าที่เปิดเผย (SARP) ตามสัจพจน์นี้หากผู้บริโภคเปิดเผยชุดค่าผสม E 1 (x 1, y 1 ) ตามที่ต้องการในชุดค่าผสมอื่น E 2 (x 2, y 2 ) และหากชุด E 2 (x 2, y 2 ) เป็นที่ต้องการใน E 3 (x 3, y 3 ) จากนั้น E จะได้รับการเปิดเผยว่าเป็นที่ต้องการของ E 3 เสมอ

สิ่งนี้อาจเรียกได้ว่า ทีนี้ถ้าผู้บริโภคใช้ยูทิลิตี้ให้ได้ประโยชน์สูงสุดแล้วค่าความผันแปรของการตั้งค่าที่เปิดเผยจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงของค่ากำหนด - ถ้า E 1 เป็นที่ต้องการของ E 2 และ E 2 ถึง E 3 ดังนั้น E 1 จะเป็น E 3

แต่นี่เป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าไอซีไม่ได้ตัดกันและไอซีที่ไม่น่าสนใจมีความจำเป็นสำหรับการมาถึงโซลูชันการเพิ่มประสิทธิภาพยูทิลิตี้ จะเห็นได้ว่าหากผู้บริโภคละเมิด WARP และ SARP ใด ๆ ผู้บริโภคจะไม่สามารถบรรลุประโยชน์สูงสุดได้

เปิดเผยทฤษฎีการตั้งค่าและทฤษฎีบท Slutsky :

ให้เราดูว่า RPT สามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Slutsky ซึ่งระบุว่าหากละเว้นผลกระทบรายได้ (IE) สำหรับสินค้าโภคภัณฑ์แล้วโค้งความต้องการจะต้องมีความลาดชันเชิงลบ เพื่ออธิบายสิ่งนี้เราจะใช้ความช่วยเหลือของมะเดื่อ 6.107

ในรูปนี้ให้ E 1 (x 1, y 1 ) แสดงการรวมกันของสินค้าที่ผู้บริโภคเริ่มซื้อเมื่อเส้นงบประมาณของเขาคือ L 1 M 1 เราต้องการแสดงให้เห็นที่นี่ว่าราคา ceteris paribus ตกต่ำในราคา X ที่ดีจาก L 1 M 1 จะเพิ่มการซื้อสินค้าถ้าเราเพิกเฉยต่อรายได้เช่นถ้าเราพิจารณาเฉพาะผลทดแทน (SE)

ให้เราสมมติว่าวงเงินงบประมาณจินตนาการสำหรับ Slutsky-SE คือ L 2 M 2 บรรทัดนี้จะแบนกว่า L 1 M 1 เนื่องจากราคาของ X ลดลง ceteris paribus และบรรทัดนี้ (L 2 M 2 ) จะผ่านชุดค่าผสม E ดังนั้นตามเงื่อนไข Slutsky ผู้บริโภคอาจ สามารถซื้อชุดค่าผสมเริ่มต้นหากเขาชอบภายใต้สถานการณ์ที่เปลี่ยนแปลง

ให้เราเห็นเพราะของ SE จุดที่ผู้บริโภคอาจเลือกในบรรทัดงบประมาณจินตนาการ L 2 M 2 (ถ้ามันแตกต่างจาก E) จะเป็นจุดเช่น E 2 ไปทางขวาของจุด E 1 . เพื่อพิสูจน์ว่าสิ่งนี้ต้องเป็นเช่นนั้นเราต้องทราบว่าการเลือกจุดใด ๆ ใน L 2 M 2 เช่น E 3 ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ E 1 นั้นถูกควบคุมโดย WARP

นี่เป็นเพราะในขั้นต้น E 1 ได้รับการเปิดเผยว่าต้องการ E 3 เนื่องจาก E 3 อยู่ต่ำกว่า L 1 M 1 แต่ถ้าเลือก E 3 เมื่อเส้นราคาเป็น L 2 M 2 มัน (E 3 ) ถูกเปิดเผยว่าเป็นที่ต้องการของ E 1 เนื่องจาก E 1 นั้นไม่แพงกว่า E 3 มากนัก (เพราะทั้งคู่อยู่ในงบประมาณเดียวกัน L 2 M 2 ) ในกรณีดังกล่าวเราได้รับ E 1 ว่าเป็นที่ต้องการของ E 3 และในทางกลับกันซึ่งละเมิด WARP

ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นใดใน L 2 M 2 ซึ่งเหมือนกับ E 3 ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ E 1 สามารถเลือกได้ ในทางกลับกันหากผู้บริโภคเลือกจุดเช่น E 2 บน L 2 M 2 ทางด้านขวาของ E 1 ก็จะไม่เป็นอันตรายต่อสัจพจน์ที่อ่อนแอเพราะเมื่อเขาซื้อ E 2 E 2 จะถูกเปิดเผยที่ต้องการ ชุดค่าผสมที่ไม่มีราคาแพงกว่า E 1 แต่เริ่มแรกเมื่อเขาซื้อ E 1 (บน L 1 M 1 ) และไม่ใช่จุดเช่น E 2 เขาทำสิ่งนี้เนื่องจาก E 1 ราคาถูกกว่าจุดเหล่านี้

จากการวิเคราะห์เป็นที่ชัดเจนว่าโดยทั่วไป SE ของราคา X ที่ร่วงลงจะเพิ่มความต้องการสินค้า X ที่ราคาถูกกว่าอย่างเช่น E 2 ไปทางขวาของ E 1 ดังนั้นทฤษฎีบท Slutsky จึงถูกอนุมานจากวิธีการตั้งค่าที่เปิดเผย

เราได้เห็นแล้วว่าหากราคาของ X ตกลง, ceteris paribus และหากผลกระทบรายได้ของการลดลงของราคานี้จะถูก SE จะเพิ่มความต้องการสำหรับ X คือเส้นโค้งอุปสงค์สำหรับ X จะลดลงในทิศทางลบและ ได้รับกฎหมายความต้องการ

จากการตั้งค่าเปิดเผยไปที่การตั้งค่า:

หลักการของการตั้งค่าเปิดเผย (RP) ค่อนข้างง่าย แต่ในเวลาเดียวกันมันมีพลังมาก สนับสนุนโดยสมมติฐานที่เราทำ RPT ช่วยให้เราได้รับรูปแบบการตั้งค่าของผู้บริโภคหรือเส้นโค้งไม่แยแส (IC) จากการตั้งค่าของเขาเปิดเผย

ผู้บริโภคไม่จำเป็นต้องมีข้อมูลที่ต้องการใคร่ครวญในการทำงานนี้ หากเรารู้ว่าสถานการณ์รายได้ของผู้บริโภคเป็นไปตามวงเงินงบประมาณของเขาและจุดประสงค์ของเขาในการเปิดเผยเราจะสามารถได้รับ IC ของเขาที่ผ่านจุดนี้ กระบวนการรับ IC อธิบายไว้ด้านล่าง

ขอให้เราสมมติว่าเส้นงบประมาณของผู้บริโภคคือ L 1 M 1 ในรูปที่ 6.108 และการรวมกันของสินค้าที่ผู้บริโภคสังเกตเห็นว่าจะซื้อคือ E 1 (x 1, y 1 ) ดังที่เราทราบผู้บริโภคที่นี่ชอบจุด E โดยตรงไปยังจุดอื่น ๆ ทั้งหมดในบรรทัดงบประมาณหรือในพื้นที่ OL 1 M 1 สำหรับแม้จะมีจุดเหล่านี้อยู่ในงบประมาณของเขาเขาก็ซื้อ E 1 “ คะแนนทั้งหมดเหล่านี้” ถือว่า แย่ กว่า E 1

ในทางกลับกันค่าใช้จ่ายของชุดค่าผสมทั้งหมดที่อยู่ทางด้านขวาของบรรทัดงบประมาณ L 1 M 1 นั้นมากกว่าค่าของจุด E 1 หรือ E 1 นั้นราคาถูกกว่าจุดเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าผู้บริโภคเลือก E 1 มากกว่าจุดเหล่านี้เพราะพวกเขามีราคาแพงกว่าและเราไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับการตั้งค่า 'เปิดเผย' ของ E 1 ต่อประเด็นเหล่านี้

นั่นคือเหตุผลที่พื้นที่ในพื้นที่สินค้าทางด้านขวาของ L 1 M 1 เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นพื้นที่ของความไม่รู้ อย่างไรก็ตามเราจะเห็นด้วยความช่วยเหลือของสมมติฐานของ RPT ที่ว่าบางจุดในพื้นที่ของความไม่รู้เป็นที่ต้องการโดยตรงหรือด้อยกว่า E 1 โดยตรงหรือโดยอ้อมและบางส่วนของจุดที่ไม่สนใจกับ E 1

จุดหลังเหล่านี้ที่ไม่สนใจกับ E 1 ทำให้เรามีกราฟความไม่แยแส (E) ที่ผ่าน E 1 ให้เรามาดูกันว่าเราจะได้เส้นโค้งนี้มาอย่างไร

ในตอนแรกให้เราพิจารณาพื้นที่ K 1 E 1 B 1 ชุดค่าผสมสินค้า (ยกเว้น E 1 ) ที่อยู่ในพื้นที่นี้เป็นที่ต้องการของผู้บริโภคโดยตรงถึง E 1 เนื่องจากชุดค่าผสมทั้งหมดเหล่านี้มีมากกว่าหนึ่งรายการหรือทั้งสองมากกว่าจุด E 1 ชุดค่าผสมเหล่านี้อาจเรียกว่าชุดค่าผสมที่ "ดีกว่า"

จนถึงตอนนี้เราได้รับแล้วว่าผู้บริโภคชอบ E 1 ถึงจุดทางด้านซ้ายของเส้นงบประมาณ L 1 M 1 นั่นคือผู้ที่อยู่ในพื้นที่ OL 1 M 1 และเขาชอบจุดที่อยู่ในพื้นที่ K 1 โดยตรง E 1 B 1 ถึง E 1 ดังนั้น IC ของเขาผ่านจุด E 1 ถ้าได้รับจะกระจายไปในช่องว่างระหว่างสองพื้นที่นี้และมันจะสัมผัสกับเส้น L 1 M 1 และพื้นที่ K 1 E 1 B 1 ที่จุด E 1

ให้เราพิจารณาจุดในพื้นที่ของความไม่รู้ที่อยู่เหนือเส้น L 1 M 1 และนอกพื้นที่ K 1 E 1 B 1 ในตอนแรกเราจะพยายามระบุจุดที่ผู้บริโภคต้องการน้อยกว่า E 1 - คะแนนเหล่านี้อาจเรียกว่า "แย่ลง" ในการทำเช่นนี้ให้เราพิจารณาจุด E 2 ใด ๆ ที่อยู่บน L 1 M 1 ทางด้านขวาของ E 1

ให้เราสมมติว่าผู้บริโภคถูกซื้อ E 2 เมื่องบประมาณของเขาคือ L 2 M 2 ดังนั้นเขาจึงเผยให้เห็นจุด E 2 ตามที่ต้องการไปทางซ้ายของบรรทัดงบประมาณ L 2 M 2 เนื่องจาก E 1 ได้รับการเปิดเผยว่าเป็นที่ต้องการของ E 2 ผู้บริโภคจึงชอบ E 1 ต่อประเด็นเหล่านี้ทั้งหมดที่อยู่ในพื้นที่ OL 2 M 2

เนื่องจากส่วนหนึ่งของพื้นที่นี้ ได้แก่ □ OL 2 E 2 M 1 เป็นของพื้นที่ OL 1 M 1 ที่นี่การเพิ่มขึ้นสุทธิในพื้นที่ของ "แย่ลง" คะแนนจะได้รับ□ E 2 M 1 M 2 ผู้บริโภคต้องการ E 1 ทางอ้อมไปยังจุดของพื้นที่นี้ผ่านการรวมกัน E 2 - เขาชอบ E 1 ถึง E 2 และ E 2 ไปยังจุดเหล่านี้

เราอาจเพิ่มพื้นที่“ แย่ลง” อีกครั้งให้ชี้ไปทางขวาของ E 1 โดยพิจารณาจุดอื่น E 3 ที่ วางอยู่บนเส้น L 1 M 1 ไปทางขวาของ E 2 สมมติว่าผู้บริโภคซื้อ E 3 เมื่อวงเงินงบประมาณคือ L 3 M 3 นั่นคือเขาเปิดเผยจุด E 3 ตามที่ต้องการกับจุดที่อยู่ในพื้นที่ OL 3 M 3

อีกครั้งเนื่องจาก E 1 ได้รับการเปิดเผยแล้วว่าเป็นที่ต้องการของ E 3 เขาอาจถูกกล่าวว่าชอบ E 1 ต่อประเด็นเหล่านี้ในพื้นที่ OL 3 M 3 ที่นี่การเพิ่มขึ้นสุทธิในพื้นที่ของจุดที่แย่กว่า E 1 คือ has SM 2 M 3 ผู้บริโภคต้องการ E 1 ทางอ้อม (ผ่านจุด E 3 ) ไปยังจุดต่างๆใน□ SM 2 M 3

จนถึงตอนนี้เราได้เห็นแล้วว่าเราจะลดพื้นที่ความไม่รู้โดยการพิจารณาคะแนนในบรรทัดงบประมาณ L 1 M 1 ทางด้านขวาของ E 1 ได้อย่างไร เราอาจทำงานนี้โดยพิจารณาคะแนน L 1 M 1 ทางซ้ายของ E 1 ให้เราสมมติว่า E 4 คือจุดใดก็ได้บน L 1 M 1 ทางด้านซ้ายของ E 1 และผู้บริโภคจะซื้อ E 4 เมื่อวงเงินงบประมาณของเขาคือ L 4 M 4

ดังนั้นจุด E 4 จึงเป็นที่ต้องการในจุดที่อยู่ในพื้นที่ OL 4 M 4 แต่จุด E 1 ได้ถูกเปิดเผยแล้วว่าต้องการจุด E 4 และผู้บริโภคต้องการ E 1 ถึงจุดเหล่านี้ ที่นี่ถ้าเราแยกส่วนทั่วไปของพื้นที่ OL 1 M 1 และ OL 4 M 4 ออก มาเราจะได้รับว่าผู้บริโภคชอบ E 1 ทางอ้อมถึงจุดที่□ E 4 L 1 L 4

ดังนั้นตอนนี้เราสามารถลดพื้นที่ของความไม่รู้ด้วย□ E 4 L 1 L 4 ด้วยวิธีนี้เราสามารถลดพื้นที่ของความไม่รู้โดยพิจารณาคะแนนเพิ่มเติมใน L 1 M 1 ซึ่ง อยู่ทางด้านซ้ายของจุด E 1

จนถึงตอนนี้เราได้ลดพื้นที่ของความไม่รู้ด้วยการเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสม "แย่ลง" ตอนนี้เราอาจเห็นว่าเราจะเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสมที่“ ดีกว่า” นอกพื้นที่ K 1 E 1 B 1 ได้อย่างไร และลดพื้นที่ที่ไม่รู้ตัวไปอีก ให้เราสมมติว่าผู้บริโภคได้รับการปฏิบัติให้ซื้อจุด E 5 เมื่อวงเงินงบประมาณของเขาคือ G 1 E 1 H 1

ที่นี่ผู้บริโภคจะต้องการคะแนนทั้งหมดในพื้นที่ K 2 E 5 B 2 ไปยังจุด E 5 เนื่องจากคะแนนเหล่านี้มีมากกว่าหนึ่งรายการหรือทั้งสองอย่าง นอกจากนี้ยังเปิดเผยว่าผู้บริโภคชอบ E 5 ถึง E 1 เพราะเขาเลือก E 5 มากกว่า E 1 ที่ ราคาไม่แพง ดังนั้นสิ่งที่เราได้รับตรงนี้คือจุดที่อยู่ในพื้นที่ K 2 E 5 B 2 นั้น“ ดีกว่า” กว่าจุด E 1

ที่นี่ถ้าเราปล่อยส่วนของ□ K 2 E 5 B 2 ซึ่งเหมือนกับ□ K 1 E 1 B 1 เราพบว่ามีการเพิ่มขึ้นสุทธิในพื้นที่ของ "ดีกว่า" คะแนนและลดลงสุทธิใน พื้นที่ของความไม่รู้ - การเพิ่มขึ้นสุทธินี้แสดงโดยพื้นที่ที่อยู่ระหว่างเส้น K 2 E 5, K 1 T และ E 5 T

อีกครั้งเนื่องจากสมมติฐานของเราในการตั้งค่านูนและ MIB ผู้บริโภคจะต้องการคะแนนใน□ E 1 E 5 T ถึง E 1 ดังนั้นพื้นที่นี้จะถูกเพิ่มเข้าไปในพื้นที่ของชุดค่าผสมที่ "ดีกว่า" และพื้นที่ของความไม่รู้จะลดลงตามลำดับ เราอาจเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสม "ดีกว่า" ด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่นผู้บริโภคได้รับการปฏิบัติให้ซื้อจุด E 6 ในบรรทัดงบประมาณ G 2 E 1 H 2

ที่นี่เราจะพบว่าพื้นที่ของจุด "ดีกว่า" ได้รับการเพิ่มขึ้นตามพื้นที่ระหว่างเส้น RB 1 RE 6 และ E 6 B 3 บวกพื้นที่ E 1 E 6 R ดังนั้นพื้นที่เหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไปในพื้นที่ ของชุดค่าผสมที่ "ดีกว่า" และพื้นที่การเพิกเฉยจะลดลงตามลำดับ

ในรูปที่ 6.108 เราได้เห็นว่าบนพื้นฐานของแนวคิดของการตั้งค่าที่เปิดเผยและด้วยความช่วยเหลือของสมมติฐานที่ทำเราอาจไปเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสมที่ "แย่" กว่าชุดค่าผสม E 1 จากด้านล่าง และเราอาจเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสมที่ "ดีกว่า" จาก E 1 จากด้านบน

ในขอบเขตพื้นที่ระหว่างสองพื้นที่นี้จะลดลงเป็นเส้นโค้งของความเฉยเมย โดยการใช้วิธีการขั้นสูงของแคลคูลัสและโดยสัญชาตญาณเราอาจได้เส้นโค้งที่ไม่แยแสของผู้บริโภคที่จะผ่านจุด E 1 นี้จะอยู่ระหว่างสองเส้นทางเช่น K 2 E 5 E 1 E 6 B 3 และ L 4 E 4 E, E 2 SM 3 และจะนูนไปที่ต้นกำเนิด

เราได้เห็นว่าเราจะได้รับ IC ของผู้บริโภคผ่านชุดค่าผสม E 1 ใด ๆ ใช้กระบวนการเดียวกันเราอาจได้รับ IC ของเขาผ่านจุดอื่น ๆ ในพื้นที่สินค้านั่นคือเราจะได้รับแผนที่ความไม่สนใจของเขา

ให้เราเห็นด้วยความช่วยเหลือของรูปที่ 6.109 ว่าเราจะสรุปได้อย่างไรโดยสัญชาตญาณว่าเขตแดนระหว่างพื้นที่ของชุดค่าผสม “ ดีกว่า” และ “ แย่ลง” กว่าจุดใด ๆ E 1 คือ IC ผ่านจุดนั้น

ในรูปที่ 6.109 เราได้แสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของการรวมกันที่ดีกว่าและแย่กว่า E 1 นั้นถูกสร้างขึ้นเพื่อมุ่งสู่กันและกันและในการ จำกัด ช่องว่างระหว่างพวกเขาดูเหมือนว่า IC และจริงๆแล้วมันจะเป็น IC ผ่าน ผ่าน E 1 เราเข้าใจสิ่งนี้ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

ให้เราเลื่อนในแนวตั้งจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในพื้นที่สินค้าโภคภัณฑ์ของรูปที่ 6.109 เริ่มต้นจากจุดใด ๆ เช่น N, (x °, y 1 ) ของพื้นที่ของชุดค่าผสมที่แย่ลง เมื่อเราเลื่อนขึ้นไปตามแนวตั้งปริมาณของ X ที่ดีจะยังคงเท่าเดิมที่ x 0 และของ Y ที่เพิ่มขึ้นและในที่สุดก็ใกล้กับบริเวณที่ "แย่ลง" มากเราจะไปถึงจุดที่เหมือน N 2 (x °, y 2 )

ให้เราสมมติว่าถ้าเรายังคงสูงกว่า N 2 เล็กน้อยเราจะไปถึงจุด N 3 (x °, y 3 ) ในพื้นที่ของชุดค่าผสมที่ "ดีกว่า" ตอนนี้เราอาจเข้าใจได้อย่างง่ายดายว่ามีจุด N * (x 0, y *), y 2 <y * <y 3 ในช่องว่างแนวดิ่งเล็ก ๆ ระหว่างจุด N 2 กับ N 3 ซึ่งไม่เลวร้ายไปกว่าหรือดีกว่า กว่า E 1 แต่ไม่สนใจ E 1

ดังนั้นหากเราเข้าร่วมคะแนน E 1 และคะแนนเช่น N * โดยเส้นโค้งเราจะได้ IC ที่ต้องการผ่าน E 1

Curve ไม่แยแสการตั้งค่าเปิดเผยและดัชนีค่าครองชีพเปิดเผย :

ให้เราพิจารณาสูตรดัชนีราคาสองอันดับแรกก่อน หนึ่งคือสูตรของ Laspeyre และอีกอันคือสูตรของ Paasche หมายเลขดัชนีราคาของ Laspeyre คืออัตราส่วนของมวลรวมสองรายการคือผลรวมของราคาปีปัจจุบันที่ปริมาณปีฐานและราคาปีฐานที่ปริมาณปีฐาน ให้เราสมมติว่าแต่ละคนซื้อสินค้าสองชิ้น

ปีฐานและราคาปีปัจจุบันของสินค้าคือ p 01, p 02 และ p t1, p t2 ปริมาณปีฐานและปีปัจจุบันของสินค้าที่ซื้อโดยผู้บริโภคคือ q 01, q 02 และ q t1, q t2 จากนั้นดัชนีราคาของ Laspeyre ก็คือ

นี่ปริมาณปีฐานของสินค้าที่ได้รับเป็นน้ำหนักของราคาของพวกเขา L ให้ดัชนีราคาในปีปัจจุบันถ้าดัชนีราคาปีฐานเป็น 1 ตัวอย่างเช่นถ้า L = 1.5 เราจะได้รับดัชนีราคาปีปัจจุบันคือ 1.5 เมื่อดัชนีราคาปีฐาน 1 คือราคา ในปีปัจจุบันมากกว่าร้อยละ 50 ในปีฐาน

ดัชนีราคาของ Laspeyer อาจถูกตีความในอีกทางหนึ่ง ตัวเศษทางด้านขวาของ (6.140) ทำให้เรามีค่าใช้จ่ายของตะกร้าปีฐานของสินค้า (q 01, q 02 ) ในราคาปีปัจจุบัน (p t1, p t2 ) และตัวส่วนทำให้เรามีค่าใช้จ่ายของ ซื้อตะกร้าสินค้าเดียวกันในราคาปีฐาน (p 01, p 02 )

เมื่อมองด้วยวิธีนี้ L = 1.5 ทำให้เราเห็นว่าต้นทุนในการซื้อตะกร้าปีฐานเพิ่มขึ้น 50% ในปีปัจจุบันในช่วงปีฐาน นั่นคือหมายเลขดัชนีราคา Laspeyre ของ L อาจได้รับการพิจารณาว่าเป็นหมายเลขดัชนีค่าครองชีพของ Laspeyre

ให้เรามาที่หมายเลขดัชนีราคาของ Paasche ซึ่งเป็นอัตราส่วนของผลรวมของราคาปีปัจจุบันที่ปริมาณปีปัจจุบันและราคาปีฐานในปริมาณปีปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้หมายเลขดัชนีราคาของ Paasche ดังนี้

ที่นี่ปริมาณสินค้าในปีปัจจุบันได้ถูกนำมาเป็นน้ำหนักของราคาของพวกเขา เช่นเดียวกับหมายเลขดัชนีราคาของ Laspeyre หมายเลขดัชนีราคาของ Paasche อาจถือได้ว่าเป็นดัชนีค่าครองชีพของ Paasche มันทำให้เรามีเปอร์เซ็นต์การเพิ่มขึ้นของต้นทุนการซื้อตะกร้าสินค้าปีปัจจุบันในปีปัจจุบันมากกว่าปีฐาน

ให้เรามาถึงค่าใช้จ่ายทั้งหมดของผู้บริโภคในปีฐานและในปีปัจจุบัน ในปีฐานค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเขาคือพูดว่า E 0 และเขาซื้อปริมาณ q 01 และ q 02 ในราคา p 01 และ p 02 ดังนั้นเส้นงบประมาณของเขาในปีฐานคือ

E 0 = p 01 q 01 + p 02 q 02 (6.142)

ในทำนองเดียวกันในปีปัจจุบันค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเขาคือพูดว่า E t และเขาซื้อปริมาณ q tI และ q t2 ในราคา p t1 และ p t2 ดังนั้นวงเงินงบประมาณของเขาในปีปัจจุบันคือ

E t = p t1 q t1 + p t2 q t2 (6.143)

เนื่องจากสันนิษฐานว่าค่าใช้จ่ายเท่ากับรายได้ E t / E 0 ทำให้เรามีดัชนีการเปลี่ยนแปลงของรายได้ของผู้บริโภคในปีปัจจุบันมากกว่าปีฐาน นั่นคือดัชนีการเปลี่ยนแปลงรายได้ของเงินคือ

ซึ่งหมายความว่าต้นทุนของตะกร้าปีฐาน ณ ราคาปีปัจจุบันน้อยกว่าค่าใช้จ่ายปีปัจจุบัน ในคำอื่น ๆ ในปีปัจจุบันผู้บริโภคอาจซื้อตะกร้าปีฐานถ้าเขาต้องการ แต่เขาเลือกที่จะไม่ซื้อตะกร้านี้ ซึ่งหมายความว่าเขาชอบตะกร้าปีปัจจุบันไปยังตะกร้าปีฐานกล่าวคือเขาดีกว่าในปีปัจจุบันมากกว่าในปีฐาน

การหารความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (6.145) ด้วย E 0 เราได้

ดังนั้น (6.145) นัย (6.146) ทำให้เรามีเงื่อนไขสำหรับผู้บริโภคที่จะดีขึ้นในช่วงเวลาปัจจุบันในช่วงฐาน ให้เราพิจารณากรณีต่อไปนี้:

ซึ่งหมายความว่าค่าใช้จ่ายของชุดปีปัจจุบันที่ราคาปีฐานน้อยกว่าค่าใช้จ่ายปีฐาน นี่ก็หมายความว่าผู้บริโภคอาจซื้อตะกร้าปีปัจจุบันในปีฐาน แต่เขาเลือกที่จะไม่ซื้อตะกร้านี้

ดังนั้นเขาจึงชอบตะกร้าปีฐานและดีกว่าในช่วงเวลาฐานในช่วงเวลาปัจจุบัน กล่าวอีกนัยหนึ่งเขาแย่กว่าในปีปัจจุบันมากกว่าปีฐาน หารทั้งสองด้านของ (6.147) ด้วย E t เราได้

ดังนั้น (6.147) นัย (6.148) ทำให้เรามีเงื่อนไขสำหรับผู้บริโภคที่จะดีขึ้นในช่วงเวลาฐานหรือแย่ลงในช่วงเวลาปัจจุบัน

จาก (6.149) หมายถึง (6.150) เราได้รับค่าใช้จ่ายของตะกร้าปีฐานที่ราคาปีปัจจุบันมากกว่าค่าใช้จ่ายปีปัจจุบัน ดังนั้นตะกร้าปีฐานไม่พร้อมใช้งานสำหรับผู้บริโภคในปีปัจจุบัน

นั่นคือเขาซื้อตะกร้าปีปัจจุบันไม่ใช่เพราะเขาชอบตะกร้าปีฐาน แต่เพราะราคาถูกกว่า ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพูดได้ว่าผู้บริโภคดีกว่าในปีปัจจุบันมากกว่าปีฐาน

ในทำนองเดียวกันถ้าเราสมมติว่า:

จาก (6.151) แสดงถึง (6.152) เราได้รับค่าใช้จ่ายของตะกร้าปีปัจจุบันในปีฐานมากกว่ามากกว่ารายได้ปีฐาน ดังนั้นผู้บริโภคซื้อตะกร้าปีฐานในปีฐานไม่ใช่เพราะเขาชอบ แต่เพราะราคาถูกกว่าตะกร้าปีปัจจุบัน ดังนั้นที่นี่เราไม่สามารถพูดได้ว่าเขาดีกว่าในปีฐานในปีปัจจุบันหรือแย่ลงในปีปัจจุบันในปีฐาน

สิ่งที่เราได้รับข้างต้นคือถ้า E> L ตามเงื่อนไข (6.146) ผู้บริโภคจะดีขึ้นในปีปัจจุบันมากกว่าปีฐาน ในทางตรงกันข้ามถ้า E <P ตามที่กำหนดโดย (6.148) ผู้บริโภคจะดีขึ้นในปีฐานกว่าในปีปัจจุบัน

เราอาจใช้เส้นโค้งเฉยเมยของผู้บริโภคเพื่อแสดงจุดเหล่านี้ รูปที่ 6.110 แสดงกรณีแรกคือผู้บริโภคในปีปัจจุบันดีกว่าปีฐาน

ที่นี่ในปีปัจจุบันผู้บริโภคซื้อที่จุด C บนบรรทัดงบประมาณปีปัจจุบันและเขาซื้อในปีฐานที่จุด C 0 ในบรรทัดงบประมาณปีฐาน จะเห็นได้ในรูปที่ 6.110 ที่ C t อยู่บน IC สูง ได้แก่ Viz., IC 2 และ C 0 อยู่ที่ IC ล่าง, Viz., IC 1

ในทำนองเดียวกันรูปที่ 6.111 แสดงกรณีที่สองกล่าวคือผู้บริโภคดีกว่าในปีฐานมากกว่าในปีปัจจุบัน จะเห็นในรูปนี้ที่ C 0 นอนอยู่บนเส้นงบประมาณปีฐานถูกวางไว้บน IC ที่สูงขึ้น ได้แก่, IC 2, และ C t นอนอยู่บนเส้นงบประมาณปีปัจจุบันวางไว้บน IC ล่าง ได้แก่ ., IC 1

จากการวิเคราะห์ข้างต้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากความไม่เท่าเทียมกัน (6.146), (6.148), (6.150) และ (6.152) เราอาจแยกแยะระหว่างสี่กรณี:

(i) E มากกว่า L และ P (E> L, E> P) ที่นี่โดย (6.146) เช่น E> L ผู้บริโภคดีขึ้นในปีปัจจุบันในช่วงปีฐาน ในทางตรงกันข้ามโดย (6.152) เช่น E> P มาตรฐานการครองชีพไม่ตกอยู่ในปีปัจจุบัน ดังนั้นบุคคลที่ดีขึ้นอย่างแน่นอนในช่วงเวลาปัจจุบัน

(ii) E น้อยกว่า P และ L (E <P, E <L) ที่นี่ตามมาจาก (6.148) ว่าถ้า E <P ผู้บริโภคจะดีขึ้นในปีฐานและตามมาจาก (6.150) ว่าถ้า E <L ผู้บริโภคจะไม่ดีขึ้นในช่วงเวลาปัจจุบัน อีกครั้งเราได้คำตอบที่ชัดเจนว่าถ้า E <P และ E <L จากนั้นผู้บริโภคจะดีขึ้นในช่วงเวลาฐานเช่นมาตรฐานการครองชีพของเขาตกอยู่ในช่วงเวลาปัจจุบันจากสิ่งที่อยู่ในช่วงฐาน

(iii) L> E> P. หาก L> E หรือ, EP แล้วด้วย (6.152) เราไม่สามารถพูดได้ว่าเขาจะดีกว่าในปีฐาน ดังนั้นในกรณีนี้จึงไม่มีข้อสรุปที่ชัดเจนในแง่ของการปรับปรุงหรือการเสื่อมสภาพของมาตรฐานการครองชีพของผู้บริโภคระหว่างสองช่วงเวลา

(iv) P> E> L. หาก P> E หรือ EL ตามด้วย (6.146) มาตรฐานการครองชีพของผู้บริโภคจะเพิ่มขึ้นในปีปัจจุบันเนื่องจากเขาชอบตะกร้าปีปัจจุบันไปยังปีฐาน

ดังนั้นในกรณีนี้เรายังไม่สามารถสรุปได้อย่างชัดเจนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในสวัสดิการของผู้บริโภคและนี่คือสถานการณ์ที่ความจริงที่อ่อนแอของทฤษฎีการตั้งค่าที่เปิดเผยได้ถูกละเมิด

สถานการณ์นี้แสดงในรูปที่ 6.112 Here the base period budget line is P 0 P' 0 and the current period budget line is P 1 P' 1 . Let us suppose that the consumer chose R (q 01, q 02 ) on IC 1 when the budget line was P 0 P 0 'and T (q t1, q t2 ) on IC 2 when the budget line was P 1 P 1 '. Since LL' lies below P 1 P 1 ' and is parallel to it and since R is on LL' and T is on P 1 P 1 ', it must be true that expenditure at R at (p t1, p t2 ) must be less than that at T at (p t1, p t2 ), ie, we would have

Also, since the point T (q t1, q t2 ) is on MM' which is parallel to p 0 p 0 but lies below it, T has the same prices as p 0 p 0 ' but has less expenditure than the point R (q 01, q 02 ) which lies on P 0 P 0 ', ie, we have

Thus, we have P > E > L. But in this case, there is inconsistency. This is also obvious from Fig. 6.112. The consumer could have purchased T in the base period, since T lies below the base period budget line p 0 p 0 ', but he actually chose R, implying that he prefers R to T.

But in the current period, he could have had R, since R lies below the current period budget line P 1 P 1 ', but he chose T, implying that he prefers T to R.

This is inconsistent if his tastes remain unchanged between the base period and the current period, and the weak axiom of revealed preference is not complied with. This inconsistency is also reflected in the fact that the ICs through R and T, viz., IC 1 and IC 2, have not been obtained to be non-intersecting—they have intersected at the point S.

We have seen, therefore, that it is sometimes possible to determine whether the consumer's standard of living has increased or decreased by means of index number comparisons. However, there may be situations where we cannot arrive at any definite conclusions or where the results may be contradictory.

Example 1 :

When two commodity baskets are purchased by the consumer at two different points in time, explain how price weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference.

วิธีการแก้:

We have to explain how price-weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference. Let us suppose that in the base period '0', a consumer is observed to purchase the combination q 0 (q 01, q 02 ) of two goods Q 1 and Q 2 at the price set p 0 (p 01, p 02 ) and in the current period 't' he is observed to purchase the combination q t (q t1, q t2 ) of the goods at the price set p t (p t1, p t2 ).

Therefore, the costs of purchasing the combination q 0 at the price set p 0 and p t are

Again, the costs of purchasing the combination q t at the price set p 0 and p t are

In the base period, the consumer purchases the quantity set q 0 at the price set p 0 . If he happens to prefer q 0 to q t, then by definition, the cost of the quantity set q 02 must be less than, or, (at most) equal to that of purchasing q 0 at p 0, ie,

Since the left-hand side of (5) is, by definition, the Laspeyre's base year price weighted quantity index (L), we obtain the condition for q 0 at p 0 to be preferred by the consumer to q 0 at p 0 as

L ≤100 (6)

Again, in the current period, the consumer is observed to purchase the combination q t at price p t . However, if the weak axiom of revealed preference is to be satisfied then he must not prefer q t at p t to q 0 at p t . Therefore, we may conclude that he purchases q in the current period because it is cheaper than q 0, ie,

Since the left-hand side of (7) is by definition the Paasche's current year price weighted quantity index (P), we obtain the condition for p t at q t to be cheaper than p 0 at q t as

P < 100 (8)

(6) and (8) give us that the weak axiom of revealed preference would be satisfied if the Laspeyre's and Passche's quantity indices both are less than 100. Of course, L may be at most 100. Here 100 is the base period index numbers for both the formulas.

ตัวอย่างที่ 2:

A consumer is observed to purchase x 1 = 20, x 2 = 10 at the prices p 1 = 2 and p 2 = 6. He is also observed to purchase x 1 = 18 and x 2 = 4 at the prices p 1 = 3 and p 2 = 5. Is his behaviour consistent with the weak axiom of revealed preference?

วิธีการแก้:

From the given data, we obtain:

(i) The cost of the combination (x 1 = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 1 = 20×2 + 10×6 = 100

(ii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 2 = 18×2 + 4×6 = 60

(iii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 3 = 18×3 + 4×5 = 74

(iv) The cost of (x, = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 4 = 20×3 + 10×5= 110

From above, it is obtained that the consumer buys the first set of goods, (20, 10), not because it is cheaper than the second set but because he prefers it to the second set, since the cost of the former, E 1 = 100, is greater than the cost of the latter, ie, E 2 = 60.

However, when he purchases the second set, not the first one, at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5), he does this because it is cheaper than the first set, not because he prefers this set to the first set, since the cost of the second set, ie, E 3 = 74, is less than that of the first set, ie, E 4 = 110.

Therefore, the consumer's behaviour is consistent with the weak axiom of revealed preference.

Convexity and Concavity :

Convex and Concave Functions :

Let us refer to Fig. 6.113. A function f (x) represented by the curve ABCDE, is convex over the interval (a, b) if we have

In Fig. 6.113, point S has divided the line segment BD in the ratio 1 – λ: λ. Therefore, the x and y coordinates of point S are

OT = λx 1, +(1 -λ)x 2

and ST = λf(x 1 ) + (1 -λ)f(x 2 )

The function f(x) is said to be strictly convex over the interval (a, b) if strict inequality holds in (6.153) for all 0 < λ < 1.

Let us again refer to Fig. 6.113. A function f(x), now represented by the curve FBGDH is concave over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≥ λf(x 1 ) + (1 – λ)f(x 2 ) (6.154)

and the function is strictly concave if strict inequality holds in (6.154) for 0 < λ < 1.

Quasi-convex and Quasi-Concave Functions:

By definition, a function f(x) is quasi-convex over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≤ max [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.155)

for all x 1 and x 2 in the interval and all 0 ≤ λ ≤ 1. The function f(x) is strictly quasi-convex if strict inequality holds in (6.155) for 0 < λ < 1.

In Fig. 6.114, the curve A'BC'DE' represents, by definition, a quasi-convex function over the interval (a, b).

Let us now come to quasi-concavity. A function f(x) is quasi-concave over an interval (a, b) if we have

f[λx 1 + (1 – 1 )x 2 ] ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.156)

for all x 1 and x 2 in the interval (a, b) and for all 0 ≤ λ ≤ 1. The function is strictly quasi-concave if strict inequality holds in (6.156) for 0 < λ < 1. In Fig. 6.114, the curve F'BG'DH' represents, by definition, a quasi-concave function over the interval (a, b).

At the end of our discussion of convex and concave curves, let us note that, as per the definitions, a convex function is also quasi-convex for the former also satisfies (6.155), but a quasi-convex function cannot be a convex function for it does not satisfy (6.153). Similarly, a concave function is also quasi-concave for it satisfies also (6.156), but a quasi-concave function cannot be concave for it does not satisfy (6.154).

Geometrical Illustrations :

From our discussions above we obtain the following with illustrations in Fig. 6.113:

(i) The curve, ABCDE, representing a function, f (x), is convex over a certain interval (a, b) if the line segment, BD, joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or above the curve; and if the line segment lies throughout above the curve, it is said that the function is strictly convex.

(ii) On the other hand, a function f(x), viz., FGDH, is concave over a certain interval (a, b) if the line segment joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or below the curve; and if the line segment lies throughout below the curve, it is said that the function is strictly concave.

We also obtain the following with illustrations in Fig. 6.114.

(iii) A function f(x), viz., A'BC'DE', is quasi-convex over a certain range between x = a and x = b, if at any x = h in the range, we have f(h) ≤ max [f(a), f(b)], and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-convex.

It may be noted that a convex function is also quasi-convex, but a quasi-convex function cannot be convex, for some quasi-convex functions, like A'BC'DE', may lie above the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a convex function cannot.

(iv) Lastly, a function f(x), like F'BG'DH', is quasi-concave over a certain range between x = x 1 and x = x 2, if at any x = h in the range, we have f(h) ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )]; and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-concave. It may be noted here that a concave function is also quasi-concave.

But a quasi-concave function cannot be concave, for some quasi-concave functions, like F'BG'DH', may lie below the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a concave function cannot.

Utility Function for Strictly Convex Indifference Curves :

Our question here is what types of utility function will produce strictly convex indifference curves (ICs) and thus satisfy the second-order condition. Two functions that may be accepted as such utility functions have been shown in Fig. 6.115. Part (a) of the Fig. 6.115 gives us a smooth strictly concave function.

Because of the assumption of positive marginal utilities, we have only shown the ascending portion of the dome-shaped surface. When this surface is cut with a plane parallel to the xy-plane, we obtain for each such cut a curve which will become a strictly convex downward sloping IC with respect to the xy-plane.

Strict concavity in a smooth utility function is, therefore, sufficient to fulfill the second-order condition (SOC) for utility-maximisation. However, if we examine part (b) of Fig. 6.115, it would be evident that strict concavity is not necessary for the SOC. This is because the strictly convex ICs can also be obtained from the utility function given in part (b) of the figure, which is not strictly concave—in fact, not even concave.

The function in Fig. 6.115 is generally shaped like a bell. Of course, we have shown here only the ascending portion of the bell. The surface of this function is called strictly quasi-concave.

The geometric property of this function is that, for any pair of distinct points u and v in its domain, if the line segment uv (which is assumed to lie entirely in the domain) gives rise to the arc MN on the surface, and if M is lower than or equal in height to N, then all the points on arc MN other than M and N must be higher than M.

[Algebraically, a function f is said to be strictly quasi-concave if, for any two distinct points in its domain like u and v, and for all values of λ, 0 < λ < 1, we would have:

The quasi-concavity of the function in Fig. 6.115 may be verified by examining such arcs as MN (N higher than M) and M'N' (M' and N' being of equal height). We have to note here that in the case of arc M'N', it is the dotted arch that lies directly above the line segment u V, not the solid curve, which possesses the property of a quasi-concave function.

The interesting thing, however, is that the strictly concave function in Fig. 6.115(a) is also strictly quasi-concave.

From what we have obtained, we may conclude that only a smooth, increasing, strictly quasi-concave utility function would generate strictly convex ICs. Such a function may have convex as well as concave portions, as shown in Fig. 6.115(b) so that the marginal utilities may be either increasing or diminishing.

From this it follows that strict convexity of ICs does not imply diminishing MUs. However, if we accept the stronger assumption of a strictly concave utility function, then we may have the features of both diminishing MU and strictly convex ICs at the same time.

 

แสดงความคิดเห็นของคุณ